Teilbarkeitsregel für 7, 11 und 13 / Teilbarkeitsvektoren

(1)

7·11·13 = 1001

[abc] := 100a + 10b + 1c

[abcabc] = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + 1c

= 1001 [abc]

⇒ Jede Zahl der Form [abcabc] ist durch 7, 11 und 13 teilbar, weil sie durch 1001 teilbar ist.


(2)

Die Teilbarkeitsregel

„[abcdef] ist genau dann durch 7 (11;13) teilbar, wenn die Differenz [abc] – [def] durch 7 (11;13) teilbar ist.“

ist äquivalent zur Teilbarkeitsregel „[abcdef] ist genau dann durch 7 (11;13) teilbar, wenn [abcabc] durch 7 (11;13) teilbar ist.“

Beweis: [abcabc] = [abcdef] + ([abc] – [def])


(3)

Noch allgemeiner:

Eine „große“ Zahl ist genau dann durch 7 (11; 13) teilbar, wenn die alternierende Differenz von Dreier-Ziffernblöcken durch 7 (11;13) teilbar ist.

Beispiel:

Ist 614 298 176 126 123 847 634 durch 13 teilbar?

614-298+176-126+123-847+634=276 = 22·13 JA!



(4) Allgemeine Teilbarkeit durch eine Primzahl mit dem Skalarprodukt

Eine "große" Zahl n ist genau dann durch eine "deutlich kleinere" Primzahl p teilbar, wenn das Skalarprodukt aus n und dem Teilbarkeitsvektor von p durch p teilbar ist

Dabei besteht der Teilbarkeitsvektor aus einer Zahlenfolge v1, v2, v3, ..., vk mit k < p/2

Beispiele:

Der Teilbarkeitsvektor von 7 ist (1 3 2 6 4 5)t ⇒

Damit ist 8806 durch 7 teilbar, weil 1·6 + 3·0 + 2·8 + 6·8 = 70

Erläuterung: 6 ist die Einer-Stelle von 8806, 0, die Zehnerstelle usw. Deshalb wird die zu prüfende Zahl von hinten in Ziffern aufgelöst.

Weil 70 durch 7 teilbar ist, ist auch 8806 durch 7 teilbar.

Weitere Teilbarkeitsvektoren:

13: (1 10 9 12 3 4)t

17: (1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12)t

19: (1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2)t




Nachkommaperioden

Einige Sätze zum Einblick in die 2024 laufenden Forschungen

NPK = Nachkommaperiode; NPKL Nachkommaperiodenlänge

  1. Die Länge der Periode der Nachkommaentwicklung einer Primzahl p ist ein Teiler von p – 1.
  2. Die Summe aller Nachkommaziffern der Nachkommaperiode von p ist stets durch 9 teilbar.
  3. Ist die Länge der Nachkommaperiode eine gerade Zahl, dann gilt: Addiert man die erste Hälfte einer Nachkommaperiode und die zweite Hälfte, so ergibt sich ziffernweise jeweils eine 9. (Starke 9er-Regel)
  4. Die letzte Ziffer einer Nachkommaentwicklung hängt immer von der letzten Ziffer von p ab: 1 ↔ 9; 3 ↔ 3; 7 ↔ 7
  5. Gruppendifferenzregeln gibt es für diejenigen Primzahlen, die Teiler einer Zahl z* = 10^n + 1 sind. Die Länge der Gruppe ist dann n.
  6. Ist n1 = NPKL(p1) und n2 = NPKL(p2), dann ist NPKL(p1·p2) = kgV(p1; p2)
  7. Die Nachkommaperiode von p = k·10^n-1 ist eine Potenzsumme von 10-i·k^i [0 ≤ i ≤ NPKL(p)/(n-1)]

Für einige Primzahlkehrbrüche ergeben sich interessante Potenzreihen:

  1. NPK(19)=052631578947368421 Von rechts gelesen ergibt sich die NPK als Potenzreihe von Zweierpotenzen

  2. NPK(97)=010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804 123711340206185567 Von links gelesen ergibt sich die NPK als Potenzreihe von Dreierpotenzen

  3. Entsprechend liest man
    1:299 = 0.003344481605351170568561872909698996655518394648829431438127090301...

    1:499=0.0020040080160320641282565130260521042084168336673346693386773 54709418837675350701402805611222444889779559118236472945891783567134268 53707414829659318637274549098196392785571142284569138276553106212424849 69939879759519038076152304609218436873747494989979959919839679358717434 86973947895791583166332665330661322645290581162324649298597194388777555 11022044088176352705410821643286573146292585170340681362725450901803607 21442885771543086172344689378757515030060120240480961923847695390781563 12625250501...
    und entwickelt ein Gespür dafür, dass Kehrbrüche von Primzahlen Potenzreihen enthalten

  4. NPK(109)=0091743119266055045871559633027522935779816513761467889908256880733944954128 44036697247706422018348623853211 Von rechts gelesen ergibt sich die NPK als Potenzreihe der Fibonaccifolge

  5. Interessante Folgen ergeben sich rückblickend aus 1:1009=0.00099108027750247770069375619425173439048562933597621407333994053518334985 1337958374628344895936570862239841427155599603567888999008919722497522299306243805748 2656095143706640237859266600594648166501486620416253716551040634291377601585728444003 96432111… mit der Folge: a(n+4) = a(n) + a(n+1) + a(n+2) (rechtsseitig in der NPK zu lesen)
    oder aus 1:1099=0.000909918107370336669699727024567788898999090081892629663330300272975432211101… mit der Folge: a(n+5) = a(n) + a(n+1) + a(n+2) (rechtsseitig in der NPK zu lesen)